Процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики, которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке. Внем процесс экономического развития изображается в виде совокупности перерывов непрерывного, позволяющих детально проанализировать особенности развития при помощи характеристик, отражающих изменение параметров экономической системы во вреемени.
Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени или моменты времени.
Существуют различные виды рядов динамики. Их можно классифицировать по следующим признакам:
1.В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
2.В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени или его величину за определенные интервалы времени, различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.
3.В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды динамики с равноотстоящими уровнями и неравоотстоящими уровнями во времени.
4.В зависимости от наличие основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.
Важнейшим условием построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.
Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они охватывают значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических данных.
На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей.
Условием сопоставимости уровней ряда динамики является периодизация динамики. В процессе развития во времени прежде всего происходят количественные изменения явлений, а затем на определенных ступенях совершается качественные скачки, приводящие к изменению закономерности явления. Поэтому нацчный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, разбивать на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.
Процесс выделения однородных этапов развития рядов динамики носит название периодизации динамики.
Необходимость формировать ряды динамики по строго однородным периодам или этапам не означает отрицания возможности построения и изучения рядов динамики, охватывающих длительные исторические отрезки времени, включающие различные этапы развития явления.
Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл.
Условием сравнимости уровней интервального ряда является наличие равных интервалов, по которым даны уровни.
Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругуу охватываемых объектов вследствие перехода объектов из одного подчинения в другое.
Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения территориальных границ областей, районов и т. д.
Т.о. Прежде чм анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедиться в сопоставимости уровней ряда и при отсутствии последней добиться ее, пользуясь дополнительными расчетами.
Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходиться прибегать к приему, который называется «смыкание рядов динамики». Под смыканием понимают объединение в один ряд двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществленя смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов имелись данные, исчисленные по разной методологии.
Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения, как до изменений, так и после изменений принимаются за 100 %, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно.
Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при переллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, административных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен сравниваемых стран, во-вторых, о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводят к одному основанию, то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процента по отногению к нему.
Анализ скорости и интенсивности развития явления во времни осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темпроста и пророста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым производят сравнение, - базисным.
Абсолютный прирост характеризует размер увеличение (уменьшения) уровня ряда за определенный период времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста.
Показатель интенсивности изменения уровня ряда в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста или темпом роста. Коэффициент роста и темп роста представляют собой две формы выражения интенсивности изменения уровня. Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени. В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень либо для каждого последующего предшествующий уровень. В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором - о цепных темпах роста.
Наряду с темпом роста можно рассчитать показатель темпа прироста, характеризующий относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня.
В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процента прироста. Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста. Абсолютное значение одного процента прироста служит косвенной мерой базисного уровня и вместе с темпом прироста позволяет рассчтать абсолютный прирост уровня за рассматриваемый период.
Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хроологическую вариацию. В хронологической срдней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени.
Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны. Для интервальных рядов с равноотстоящими уровнями средний уровень находится по формуле средней арифметической простой, а для неравноотстоящих уровней - по средней арифметической взвешенной.
Обобщающим показателем скорости изменения явления во времени является средний абсолютный прирост, который дает возможность установить, насколько в среднем за единицу времени должен увеличиваться уровень ряда, чтобы, отправляясь от начального уровня за данное число периодов, достигнуть конечного уровня.
Свободный обобщающей характеристикой интенсивности изменения уровней ряда динамики служит средний темп роста, показывающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменился уровень динамического ряда. Необходимость исчисления среднего темпа роста возникает вследствие того, что темпы роста из года в год колеблются. Кроме того, средний темп роста часто следует определить в тех случаях, когда имеются данные об уровне в начале какого-либо периода и в конце его, а промежуточные данные отсутствуют.
Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного воздействия.
Влияния эволюционного характера - это изменения, определяющие некое общее направление развития, которое пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития, или трендом.
Влияния осциллятивного характера - это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Циклические состоят в том, что знание изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигает определенного максимума, затем понижается, достигает определенного минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т. д. Сезонные колебания - это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определенное время каждого года, дня месяца или часа дня.
Рассмотрим нерегулярные колебания, которые для социально-экономических явлений можно разделить на 2 группы: а) спорадически наступающие изменения, вызванные, например, экологической катастрофой; б) случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых второстепенных факторов.
Т.о. Первоначальные значения ряда динамики подвергаются самым разнообразным воздействиям. Выделим его 4 основные компонента: основную тенденцию (T), циклическую (K), сезонную (S), случайные колебания (E). В зависимости от взаимосвязи их между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики.
Аддитивная модель ряда динамики y=T+K+S+E характеризуется главным образом тем, что характер циклических и сезонных колебаний остается постоянным.
Мультипликативная модель ряда динамики y=T*K*S*E. В этой модели характер циклических и сезонный колебаний остается постоянным только по отношению к тренду.
Тренд - это долговременная компонента ряда динамики. В социально-экономических рядах динамики можно наблюдать тенденции 3-х видов: среднего уровня, дисперсии, автокорреляции.
Тенденция среднего уровня аналитически выражается с помощью математической функции, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления.
Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклоненйи между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда.
Тенденцией автокорреляции является тенденция изменения связи между отдельными уровнями ряда динамики. Графически это изменение не прослеживается.
Для проверки наличия тренда используют около десятка методов. Рассмотрим 2 из них: метод, основанный на проверке разности средних двух разных частей одного и того же ряда и метод Фостера-Стюарта.
При первом ряд динамики разбивается на 2 равные или пости равные части и проверяется гипотеза о существовании разности средних.
Метод Фостера-Стюарта кроме определения наличия тенденции явления позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.
После того, как установлено наличие тенденции в ряду динамики, производится ее описание с помощью методов сглаживания. Методы сглаживания разделяются на 2 основные группы:
1.сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней
2.выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, одновременно освободила его от незначительных колебаний.
Рассмотрим каждый из них.
Метод усреднения по левой и правой половине. Разделяют ряд динамики на 2 части, находят по каждой из них среднее значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике.
Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдаются снижение и повышение этих уровней.
Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней, затем - средний уровень такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т. д. Т.о. при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.
Каждое звено скользящей средней - это средний уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода. Для каждого конкретного ряда динамики алгоритм расчеты скользящей средней следующий:
1.Определить интервал сглаживания, то есть число входящих в него уровней m (m 2.Вычислить среднее значение уровней, образующих интервал сглаживания, которое одновременно является сглаживающим значением уровня, находящегося в центру интервала сглаживания, при условии, что m - нечетное число. 3.Сдвинуть интервал сглаживания на одну точку вправо, потом вычислить по формуле сглаженное значение для t+1 члена, снова произвести сдвиг и т. д. Метод взвешенной скользящей средней. Взвешенная скользящая средняя отличается от простой скользящей средней тем, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными весами. Важнейшим способом количественного выражения общей тенденции изменения уровней динамического ряда является аналитическое выравнивание ряда динамики, которое позволяет получить описание плавной линии развития ряда. При этом эмпирические уровни заменяются уровнями, которые рассчитываются на основе определенной кривой, где уравнение рассматривается как функция времени. Вид уравнения зависит от конкретного характера динамики развития. Его можно определить как теоретически, так и практически. Теоретический анализ основывается на рассчитанных показателях динамики. Практический анализ - на исследовании линейной диаграммы. Анализ рядов динамики предполагает и исследование сезонной неравномерности (сезонных колебаний), под которыми понимают устойчивые внутригодовые колебания, причиной которых являются многочисленные факторы, в том числе и природно-климатические. Задачей аналитического выравнивания является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные значения можно определить: 1) используя полусумму уровней, расположенных рядом с интерполируемыми; 2) по среднему абсолютному приросту; 3) по темпу роста. Способ определения количественных значений за пределами ряда называют экстраполяцией. Экстраполирование используется для прогнозирования тех факторов, которые не только в прошлом и настоящем обусловливают развитие явления, но и могут оказать влияние на его развитие в будущем. Экстраполировать можно по средней арифметической, по среднему абсолютному приросту, по среднему темпу роста. Многомерный статистический анализ - раздел математической статистики, развивающий математические методы выявление характера и структуры взаимосвязей явлений, характеризующихся большим количеством различных свойств. Обычно для проведения анализа используются результаты измерения компонент многомерного признака для каждого объекта из исследуемой совокупности. Wikimedia Foundation
.
2010
.
Ряды динамики
- это ряды последовательно расположенных в хронологическом порядке статистических показателей, которые характеризуют развитие явления во времени. Ряды динамики могут состоять из абсолютных, относительных и средних величин. В зависимости от… … Официальная терминология
РЯДЫ ДИНАМИКИ
- в статистике, динамические ряды, последовательные ряды величин, характеризующие изменение какие либо явления во времени (в динамике). Исходный показатель Р. д. (обычно результат статистические сводки, например, поголовье скота на начало года)… … Сельско-хозяйственный энциклопедический словарь
Статистические ряды, характеризующие изменение (развитие) социально экономических явлений во времени. Например, данные о производстве электроэнергии в СССР за период 1928 73 представляют Р. д. Производство электроэнергии в СССР,… … Большая советская энциклопедия
Вероятностные модели экономической динамики
- (probabilistic models of economic dynamics) – модели развития экономики, исходящие из ее понимания как вероятностной системы. Возможность проведения соответствующих расчетов основывается на свойствах иерархической структуры построения… … Экономико-математический словарь
вероятностные модели экономической динамики
- Модели развития экономики, исходящие из ее понимания как вероятностной системы. Возможность проведения соответствующих расчетов основывается на свойствах иерархической структуры построения экономики (все в большей степени она становится… … Справочник технического переводчика
6.1. Ряды динамики. Классификация динамических
рядов
Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность
упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития
изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных
элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или
уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам. 1. По времени
– моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики
–
последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь
произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема
продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент
времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики.
Примерами моментных
рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины
запаса какого-либо материала на начало периода и т.д. Важное аналитическое отличие моментных
рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный
показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж
акций и т.д., сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального
содержания, как правило, не имеет. 2. По форме представления уровней –
ряды абсолютных, относительных и средних величин
(табл. 6.1 – 6.3). 3. По расстоянию между датами или интервалам времени
выделяют полные и неполные хронологические
ряды. Полные ряды динамики
имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют
друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 6.1 и 6.2).
Неполные
– когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 6.3). Таблица 6.1 Объем продаж долларов США на ММВБ, млн. долл. Таблица 6.3 Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней, при
составлении ряда динамики должны приводиться в сопоставительный вид. Статистические данные должны быть сопоставимы
по территории, кругу охватываемых объектов,
единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по
территории
означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны
быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов
означает
сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость
обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными,
либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении
сопоставимости
данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость
достигается
системой сопоставимых цен. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени.
Не допускается
анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют
условными расчетными значениями. 6.2. Показатели анализа рядов динамики
При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности
изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих
показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: Расчет показателей динамики представлен в следующей таблице. Абсолютный прирост * Коэффициент роста (К р) Темп роста (Т р) Коэффициент прироста (К пр) ** Темп прироста (Т пр) * В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики,
получают базисные показатели.
Если же сравнение производится с предыдущим периодом
или моментом времени, то говорят о цепных показателях.
Рассмотрим пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах
России за пять месяцев 1993 г. Объем продаж, млн. руб.
-
- 892,63 225,7 125,7 950,78 40,7 59,3 431,03 33,9 66,1 106,88 148,4 48,4 50,56 84,6 15,4 Система средних показателей динамики включает: Средний уровень ряда –
это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный
интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда
динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню. Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим
образом: где n или (n +1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков,
каждому из которых соответствует свой уровень Y i (1 = 1, 2, ..., n или 1 = 0, 1,
2, ..., n). Средний абсолютный прирост
рассчитывается по формулам в зависимости от способа нумерации
интервалов (моментов). Средний темп роста:
где – средний коэффициент роста, рассчитанный как Средний темп прироста
(%) определяется по единственной методологии: 6.3. Изучение тенденции развития
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих: Изучение тренда включает два основных этапа: Непосредственное выделение тренда
может быть произведено тремя методами. 1. Укрупнение интервалов.
Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число
равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития
явления, переходят к расчету уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого
интервала (одновременно уменьшается количество интервалов). 2. Скользящая средняя.
В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами,
которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Целое число уровней,
по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может
быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек). При нечетном сглаживании полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой
расчетного интервала, при четном этого делать нельзя. Поэтому при обработке ряда четными интервалами
их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но
из крайних его уровней берут только 50 %. Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных
уровней для точек в начале и конце ряда. Получают их специальными приемами – расчетом средней
арифметической взвешенной. 3. Аналитическое выравнивание.
Под этим понимают определение основной проявляющейся
во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает перед исследователем
как бы в зависимости только от течения времени. В итоге выравнивания временного ряда получают
наиболее общий, суммарный, проявляющийся во времени результат действия всех причинных факторов.
Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют
действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. В результате приходят к трендовой
модели где f(t)
– уровень, определяемый тенденцией развития; e t – случайное и циклическое отклонение от тенденции. Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или
графической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят
параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t)
выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: Линейная зависимость
выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются
более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению,
ни к снижению. Параболическая зависимость
используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе
обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных
приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют. Экспоненциальные зависимости
применяются, если в исходном временном ряду наблюдается
либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов
прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, – устойчивость в
изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных
коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.). Оценка параметров (a 0 , a 1 , a 2 , ...) осуществляется следующими
методами: В большинстве расчетов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую
сумму квадратов отклонений фактических уровней от выравненных: Для линейной зависимости (f(t)=a 0 +a 1 t) параметр а 0 обычно
интерпретации не имеет, но иногда его рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда;
а 1 – сила связи, т.е. параметр, показывающий, насколько изменится результат при
изменении времени на единицу. Таким образом, а можно представить как постоянный теоретический
абсолютный прирост. Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается
посредством критерия Фишера (F). Фактический уровень (F факт) сравнивается с теоретическим
(табличным) значением: где k – число параметров функции, описывающей тенденцию; F факт сравнивается с F теор при v 1 = (k-1), v 2
= (n-k) степенях свободы и уровне значимости a (обычно a = 0,05). Если F факт >
F теор, уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической
временной тенденции. Выравнивание проведено по линейной трендовой модели. Оценка параметров уравнения выполнена
методом наименьших квадратов. Таким образом, f(t) = у t = 10,128-0,073t для t= -13, -11, -9, ..., +13, или f(t)
= у t = 11,077-0,1461 для t = 0, 1, ..., 13. Параметры последнего уравнения регрессии можно интерпретировать следующим образом: a 0
= 11,077 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а 1 =
-0,146 – показатель силы связи, т.е. в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение
уровня брачности на 0,146 ежегодно. В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период
с 1977 по 1990 г.: Обобщающая характеристика динамики исследуемого явления определяется при помощи следующих средних показателей: средний уровень ряда, средний тема роста, средний темп прироста
. Средний уровень ряда характеризует обобщенную величину абсолютных уровней ряда. Для интервальных рядов динамики средний уровень определяется:
а) при равных интервалах по формуле средней арифметической простой (7.18): где y 1 …y n - абсолютные уровни ряда; n - число уровней. Например, средний уровень для интервального ряда динамики , приведенного в п. 7.1, составляет 935 млн. руб.
б) при неравных интервалах по формуле средней арифметической взвешенной (7.19): где t - длительность интервалов времени между уровнями ряда. Средний уровень моментных рядов динамики определяется:
а) для ряда с равноотстоящими датами по формуле средней хро-нологической простой (7.20): Пример, средний уровень для моментного ряда динамики, приведенного в п.7.1, составляет 195 чел.
б) для ряда с неравноотстоящими датами по формуле средней хронологической взвешенной (7.21): Средний абсолютный прирост рассчитывается двумя способами:
а) цепным (исходя из цепных абсолютных приростов) (7.22): где m - число абсолютных приростов (m = n - 1, n - число членов ряда); б) базисным (исходя из общего базисного абсолютного прироста) (7.23): Для нашего моментного ряда динамики средний абсолютный прирост, рассчитанный цепным способом, составляет 2 чел.:
Расчет базисным способом дает тот же результат
Средний коэффициент роста для рядов с равными интервалами, или с равноотстоящими датами
, рассчитывается
: а) цепным способом (по формуле средней геометрической) (7.24): где m - число коэффициентов роста (m = n - 1); б) базисным способом (7.25): Средний темп роста для рядов с равными интервалами, равноотстоящими датами
, рассчитывается по формуле (7.26): Средний коэффициент роста для рассматриваемого ряда составляет
Средине темпы (коэффициенты) прироста
рассчитываются на основе средних темпов или коэффициентов роста посредством вычитания из последних 100% или 1 (7,27 и 7,28): Средний темп прироста для нашего примера составляет 1,03% (101,03%-100%).
При одновременном анализе динамики двух явлений представ-ляет интерес сравнение интенсивности изменения их во времени. Та-кое сопоставление производится при наличии динамических рядов одинакового содержания, но относящихся к различным территориям или объектам, либо при сравнении рядов разного содержания, харак-теризующих один и тот же объект. Сравнение интенсивности измене-ний уровней рядов во времени возможно с помощью коэффициентов опережения
, представляющих собой отношение базисных темпов роста или прироста двух рядов динамики за одинаковые отрезки вре-мени (7,29) и (7,30): Например, темп роста объемов производства на предприятии в отчетном году составил 126%, а темп роста численности -120%. Таким образом, темп роста объемов производства в отчетном году опережал рост численности на предприятии в 1,05 раза (126/120).
Коэффициент опережения может быть исчислен также на осно-ве сравнения средних темпов роста или темпов прироста: Основной тенденцией ряда динамики (или трендом) называ-лся устойчивое изменение уровня явления во времени, обусловленное влиянием постоянно действующих факторов и свободное от случайных колебаний. В случаях, когда уровни динамического ряда непрерывно растут или непрерывно снижаются, основная тенденция ряда является очевидной. Однако достаточно часто уровни динамических рядов претерпевают различные изменения (т. е. то растут, то убывают), и общая тенденция неясна. Задача статистики заключается в выявлении тенденции в таких рядах. С этой целью ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней и аналитического выравнивания. Укрупнение интервалов является наиболее простым методом. Он основан на увеличении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Одновременно уменьшается количество ин-тервалов. Рассмотрим применение этого метода на примере ежемесячных данных о выпуске продукции предприятия.
Различные направления изменения уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции производства продукции. Однако если месячные уровни объединить в квартальные, после чего вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварта-лам, то тенденция становится очевидной.
5,23 < 5,57 < 5,87 < 6,03. Таким образом, динамический ряд обнаруживает тенденцию к росту.
Метод скользящей средней заключается в следующем. Опреде-ляется средний уровень из определенного объема нечетного числа первых по счету уровней ряда, а затем из того же числа уровней, но начиная со второго по счету. Затем с третьего и так далее. Таким образом, средняя скользит по ряду динамики, передвигаясь на один уровень. Примечание этого метода рассмотрим на примере производительности труда на предприятии.
Ряд, сглаженный пятичленными средними, уже позволяет го-ворить о тенденции к росту производительности труда на предпри-ятии. Недостаткам метода является потеря информации, связанная с укорачиванием ряда
Рассмотренные методы дают возможность определить общую тенденцию изменения уровней ряда динамики. Однако они не позволяют получить обобщенную статистическую модель тренда. С этой целью применяют метод аналитического выравнивания
рядов ди-намики. Основным содержанием метода является то, что общая тен-денция развития представляется как функция времени: Где - уровень динамического ряда, вычисленный по соответствую-щему уравнению на момент времени t
. Определение теоретических уровней ряда динамики произво-дится на основе так называемой адекватной математической модели, наилучшим образом отображающей основную тенденцию. Простей-шими моделями для отображения социально-экономических процес-сов являются следующие:
Линейная
Показательная
Степенная
Парабола
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов. Параметры уравнения, удовлетворяющие этому условию, Могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. На основе полученного уравнения тренда вычисляются теоретические уровни. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней y
плавно изменяющимися теоретическими уровнями. Для окончательного выбора вида адекватной математической функции используются специальные критерии математической стати-стики (критерий x
2 , Колмогорова - Смирнова и другие). При сравнении квартальных и месячных данных многих соци-ально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания
, возникающие под влиянием смены времени года. Они яв-ляются результатом влияния природно-климатических условий, обще-экономических факторов, а также других многочисленных и разнооб-разных факторов, которые часто являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют опреде-ленный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний или сезонной волны, а динамический ряд в этом случае называется сезонным рядом динамики. Сезонные колебания наблюдаются в различных отраслях экономики, в том чис-ле в отраслях химико-лесного комплекса. В ряде случаев они могут отрицательно влиять на результаты производственной деятельности. Поэтому встает вопрос о регулировании сезонных изменений. В осно-ве этого регулирования должно лежать исследование сезонных ко-лебаний. В статистике существует ряд методов изучения и измерения се-зонных колебаний. Самый простой из них заключается в расчете спе-циальных показателей, называемых индексами сезонности I s
. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонных колебаний вычисляются по данным за несколько лат (не менее трех). Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенден-ция в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредствен-но по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года (), затем вычисляется среднемесячный уро-вень для всего ряда (). После этого определяются индексы сезонно-сти, представляющие собой процентные отношения средних для каж-дого месяца к общему среднемесячному уровню ряда (7,35): Пример.
Имеются помесячные данные об объеме продаж предприятием стеновых материалов, млн. шт. условного кирпича. Требуется рассчитать индексы сезонности.
Для наглядности сезонную волну изображают в виде графика. Имея представления о сезонных изменениях того или иного явления, предприятие может правильно распределять материальные, финансовые и трудовые ресурсы в течение года, В случае, когда уровни динамического ряда проявляют тенденцию к росту или снижению, фактические данные сопоставляются с выравненными, т. е, полученными с помощью аналитического выравнивания. Индексы сезонности рассчитываются по формуле (7,36): Динамика - это изменение социально-экономических явлений во времени. Для изучения динамики явлений строят и анализируют ряды динамики. Ряд динамики - это ряд значений статистического показателя, расположенных в хронологической последовательности. Составными элементами ряда динамики являются значения показателя, называемые уровнями ряда, и показатели времени - периоды или моменты времени, к которым относятся уровни. Если ряд динамики состоит из уровней, то его вид где - уровень ряда динамики в момент или за период времени Классификация рядов динамики представлена на рисунке 17. Условия правильного построения ряда динамики: При изучении рядов динамики перед статистикой стоят задачи: охарактеризовать интенсивность развития явления от периода к периоду (от дате к дате), а также среднюю интенсивность развития за исследуемый период, выявить основную тенденцию в развитии явления, осуществить прогноз развития на будущее, а также изучить сезонные колебания. Рис. 17.
Для характеристики интенсивности развития явления во времени исчисляются следующие показатели ряда динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста, коэффициенты прироста, темпы прироста, абсолютные значения 1% прироста. Их расчет основан на сравнении между собой уровней ряда. При этом сравниваемый уровень называют текущим (отчетным), а уровень, с которым производят сравнение, - базисным. Перечисленные показатели можно исчислить с переменной или постоянной базой. Если производится сравнение каждого уровня с предыдущим уровнем, то получают показатели динамики с переменной базой (цепные показатели динамики). Если каждый уровень сравнивается с начальным уровнем или каким-то другим, принятым за базу сравнения, то получаются показатели динамики с постоянной базой (базисные показатели динамики). База сравнения должна выбираться обоснованно, в зависимости от экономических особенностей явления и задач исследования. Формулы расчета показателей динамики представлены в таблице 17. Таблица 17 Показатели ряда динамики Показатель Базисный 1. Абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился уровень ряда по за тот или иной промежуток времени 2. Коэффициент роста показывает, во сколько раз текущий уровень ряда больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы) 3. Темп роста, % 4. Коэффициент прироста 5. Темп прироста, % показывает, на какую долю (или процент) уровень текущего периода больше (или меньше) базисного уровня 6. Абсолютное значение 1% прироста показывает, сколько абсолютных единиц приходится на 1% прироста (уменьшения) Примечание. - уровень любого периода (кроме первого), называемый уровнем текущего (отчетного) периода. - уровень периода, предшествующий текущему. - уровень, принятый за постоянную базу сравнения (часто первый уровень). Между цепными и базисными показателями абсолютного прироста и коэффициентов роста существует взаимосвязь: Для характеристики интенсивности развития за длительный период рассчитываются средние показатели динамики. Формулы их расчета представлены в таблице 18. Таблица 18 Средние показатели ряда динамики Показатель Формула расчета 1. Средний уровень ряда: для интервального ряда с равными интервалами для интервального ряда с неравными интервалами для моментного ряда с равными интервалами для моментного ряда с неравными интервалами 2. Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц увеличился или уменьшился уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т.д.) 3. Средний коэффициент роста 4. Средний темп роста 5. Средний темп прироста показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился уровень по сравнению с предыдущим в среднем за единицу времени (в среднем ежегодно, ежемесячно и т.п.) 6. Средняя величина абсолютного значения 1% прироста Примечание. Число уровней ряда. - длительность интервала времени между уровнями. - последний уровень ряда. Показатели ряда динамики подразделяются на группы (рис. 18). Рис. 18. Группировка показателей ряда динамики
Динамический
ряд
― ряд однородных сопоставимых величин,
показывающих изменение изучаемого
явления во времени. Это статистическая
форма отображения развития явлений во
времени. Числа, составляющие динамический
ряд, принято называть уровнями ряда.
Уровни
ряда могут быть представлены абсолютными
числами, относительными и средними
величинами
.
Различают
следующие виды динамических рядов. Простой
― ряд,
составленный из абсолютных величин,
характеризующих динамику одного
явления. Простые
ряды являются исходными для построения
производных рядов. Производный
― ряд, состоящий из средних или
относительных величин. Интервальный
ряд
состоит
из последовательного ряда чисел,
характеризующих изменение явления на
определенный период (по времени). Моментный ряд
состоит из величин, определяющих размеры
явления не за какой-либо отрезок времени,
а на определенную дату - момент. Для более глубокого
понимания сути развития общественных
явлений исчисляют такие показатели
динамического ряда, как абсолютный
прирост, темп прироста, темп роста,
абсолютное значение 1% прироста. Абсолютным
приростом
называют разницу между каждым последующим
уровнем и уровнем предыдущим. Абсолютный
прирост может быть положительным и
отрицательным. Темпом роста
называется отношение каждого последующего
уровня к предыдущему, выраженному в
процентах. Темпом прироста
называется отношение абсолютного
прироста к предыдущему
уровню, принятому за 100%. Так
как каждому относительному показателю
соответствуют определенные абсолютные
величины, то при изучении темпов прироста
нужно обязательно учитывать, какая
абсолютная величина соответствует
каждому проценту прироста, каково его
содержание. Для этого исчисляется такой
показатель, как абсолютное
значение одногопроцента
прироста.
Он определяется как частное от деления
абсолютного прироста за определенный
период на темп прироста в процентах за
этот же период. Для иллюстрации
расчетов рассмотренных статистических
показателей приведем ряд динамики. Приведем пример.
Необходимо дать анализ динамики
рождаемости в определенном районе
(таблица 5). Т а б л и ц а 5 -
Динамика
рождаемости в регионе за 1996–2005гг
. Рождаемость, % Абсолютный
прирост Темп прироста,
% Темп роста, % Абсолютное
значение 1% прироста
1. Определяем
абсолютный прирост: 8,9 – 9,4 = – 0,5; 9,2 –
8,9 = 0,3 и т.д. Вычисляем темп
прироста: – 0,5×100/9,4 = – 5,3 и т.д. 3. Находим темп
роста: 8,9×100/9,4 = 94,7 и т.д. 4. Получаем абсолютное
значение 1% прироста: – 0,5/ – 5,3 = 0,09 Динамический ряд
не всегда состоит из уровней, последовательно
изменяющихся в сторону снижения или
увеличения. Нередко уровни динамического
ряда резко колеблются, и это не позволяет
выявить основную тенденцию, свойственную
изучаемому явлению за определённый
период времени. В таких случаях проводится
выравнивание динамического ряда.
Существует несколько способов выравнивания
динамического ряда: укрупнения интервала,
сглаживание путем вычисления скользящей
средней, аналитическое выравнивание
по прямой и др. Рассмотрим
выравнивание по прямой линии, которое
осуществляется следующим образом: У t
(теоретические уровни) = а o +а 1 t,
где t
- условное обозначение времени, а o
и а 1
- параметры искомой прямой, которые
находятся из решения системы уравнений: na 0
+ a 1 Σt
= Σy; a 0 Σt
+ a 1 Σt 2
= Σyt;
где y
- фактические уровни; n
- число рядов динамики. Система уравнений
упрощается, если t
подобрать так, чтобы их сумма равнялась
0, т.е. начало отсчета времени перенести
в середину рассматриваемого периода.
Тогда: a 0
= Σy/n;
a 1
= Σyt/
Σt 2 . Подставляя
полученные значения a 0
и a 1
в формулу,
вычисляют все значения теоретического
уровня. Рассмотрим следующий
пример (таблица 6): Т а б л и ц а 6:
Выравнивание
рождаемости за 2003–2008 г г.
Рождаемость, (у) Условное обозначение
времени, t Теоретический
уровень после выравнивания Трехлетние
скользящие средние n = 6 Σy
= 53,6 Σyt = –
30,6 Σ
tt=70. Если ряд четный,
отсчет ведется с 1 (середина ряда), затем
последовательно нечетные числа 3, 5, 7 и
т.д. в обе стороны (вверх с – ; вниз с +);
если ряд нечетный, отсчет условного
обозначения времени ведется с 0 (середина
ряда), затем - 1, 2, 3 и т.д. в обе стороны. Порядок
вычисления следующий:
У t
(теоретические уровни) = а o +а 1 t; a 0
=
Σy/n; a 1
=
Σyt/ Σt 2 ; a 0
= 8,9 a 1
= – 0,4; 8,9 + (– 0,4) × (– 5) =
11; 8,9 + (– 0,4) × (– 3) =
10,1; и т.д. Порядок
вычисления скользящей средней:
Для 2004 года (9,4 +
8,9 + 9,2) / 3 = 9,2. Для 2005 года (8,9 +
9,2 + 8,3) / 3 = 8,8 и т.д. Укрупнение интервала
производят путём суммирования данных
за ряд смежных периодов (таблица 7). Т а б л и ц а 7 Рождаемость За 2003–2005 рождаемость
составляет 9,4+8,9+9,2=27,5. За 2006–2008 рождаемость
составляет 8,3+9,4+8,4=26,1. 17.
Связи
между явлениями (функциональная,
корреляционная). Виды корреляционной
связи по силе и направлению. Метод
корреляции рядов (Пирсона), этапы
вычисления коэффициента корреляции,
оценка достоверности
Все явления в
природе и обществе находятся во взаимной
связи. По характеру зависимости явлений
различают: функциональную
(полную); корреляционную
(неполную) связи. Функциональная
связь
означает
строгую зависимость явлений, когда
любому значению одного из них всегда
соответствует определенное одно и тоже
значение другого. При корреляционной
же связи
одной и той же величине одного признака
соответствуют разные величины другого.
Например: между ростом и весом имеется
корреляционная связь, между заболеваемостью
злокачественными новообразованиямии
возрастом и т.д. По направлению
различают прямые и обратные корреляционные
связи. При прямой ― увеличение одного
из признаков ведет к увеличению другого;
при обратном же ― с увеличением одного
признака второй уменьшается. По силе связь может
быть сильной, средней и слабой. На основе
статистического анализа можно установить
наличие связи, ее направление и измерить
ее силу. Одним из способов
измерения связи между явлениями является
вычисление коэффициента корреляции,
который обозначается r ху.
Наиболее
точным является метод квадратов
(Пирсона), при котором коэффициент
корреляции определяется по формуле:
r ху
― коэффициент корреляции между
статистическим рядом X
и Y. d х
― отклонение каждого из чисел
статистического ряда X
от своей средней арифметической. d у
― отклонение каждого из чисел
статистического ряда Y
от своей средней арифметической. В зависимости от
силы связи и ее направления коэффициент
корреляции может находиться в пределах
от 0 до 1 (-1). Коэффициент корреляции,
равный 0, говорит о полном отсутствии
связи. Чем ближе уровень коэффициента
корреляции к 1 или (-1), тем соответственно
больше, теснее измеряемая им прямая или
обратная связь. При коэффициенте
корреляции равном 1 или (-1) связь полная,
функциональная. Схема оценки
силы корреляционной связи по коэффициенту
корреляции
Сила связи Величина
коэффициента корреляции при наличии прямой связи (+) обратной связи
(-) Связь отсутствует Связь малая
(слабая) от 0 до +0,29 от 0 до –0,29 Связь средняя
(умеренная) от +0,3 до +0,69 от –0,3 до –0,69 Связь большая
(сильная) от +0,7 до +0,99 от –0,7 до –0,99 Связь полная (функциональная) Для вычисления
коэффициента корреляции по методу
квадратов составляется
таблица из 7 колонок. Разберем процесс
вычисления на примере: ОПРЕДЕЛИТЬ СИЛУ
И ХАРАКТЕР СВЯЗИ МЕЖДУ
Пора-
ность
зобом
(V
y
)
d
x
=
V
x
–M
x
d
y
=
V
y
–M
y
d
x
d
y
d
x
2
d
y
2
Σ
-1345
,0
Σ
13996
,0
Σ
313
,
47
1. Определяем
среднее содержание йода в воде (в мг/л). 2.Определяем среднюю
пораженность зобом в %. 3. Определяем
отклонение каждого V x
от М x ,
т.е. d x . 201–138=63; 178–138=40 и
т.д. 4. Аналогично
определяем отклонение каждого V у
от M у,
т.е. d у. 0,2–3,8=-3,6; 0,6–38=-3,2
и т.д. 5. Определяем
произведения отклонений. Полученное
произведение суммируем и получаем. 6.
d х
возводим в квадрат и результаты суммируем,
получаем. 7.
Аналогично возводим в квадрат d у,
результаты суммируем, получим 8.
Наконец, все полученные суммы подставляем
в формулу: Для решения вопроса
о достоверности коэффициента корреляции
определяют его среднюю ошибку по формуле: (Если
число наблюдений менее 30, тогда в
знаменателе n–1). В нашем примере Величина коэффициента
корреляции считается достоверной, если
не менее чем в 3 раза превышает свою
среднюю ошибку. В нашем примере
Таким образом,
коэффициент корреляции не достоверен,
что вызывает необходимость увеличения
числа наблюдений. Коэффициент
корреляции можно определить несколько
менее точным, но намного более легким
способом ― методом рангов (Спирмена). Оценка достоверности: 1. оценка достоверности
интенсивного показателя: m
= √P
x q / n(корень со всего) где
p - показатель, выраженный в %, ‰, %оо и
т.д.
q
= (100 - р), при p выраженном в %;
или
(1000 - р), при p выраженном в ‰
или
(10000 - р), при p выраженном в %оо и т.д. t=1,
достоверность 68,3% 2. Оценка достоверности
разности 2 интенсивных показателей М1 и м2 ошибки репрезентативности. 3. оценка достоверности
среднеарифметической Где
σ - среднеквадратическое
отклонение
n
- число наблюдений T=M/m,
если t
больше 2 , ср. арифметическая достоверна. 4
.оценка
достоверности разности 2 ср. арифметическихСмотреть что такое "Ряды динамики" в других словарях:
1) абсолютный прирост,
2) темпы роста,
3) темпы прироста,
4) абсолютное значение одного процента прироста. Показатель
Базисный
Цепной
Y i -Y 0
Y i -Y i-1
Y i: Y 0
Y i: Y i-1
(Y i: Y 0)×100
(Y i: Y i-1)×100
Абсолютное значение одного процента прироста (А)
** 
Показатель
Март
Апрель
Май
Июнь
Июль
Август
Абсолютный прирост:
цепной,
базисный
Коэффицент (индекс) роста цепной
Темп роста, %:
цепной,
базисный
Темп прироста
цепной, %
базисный, %
Абсолютное значение 1% прироста (цепной) 709,98
-
-
-
-
1602,61
892,63
2,257
225,7
125,7
7,10
651,83
-58,15
0,407
91,8
-8,2
16,03
220,80
-489,18
0,339
31,1
-68,9
6,52
327,68
-382,3
1,484
46,2
-53,8
2,21
277,12
-432,86
0,846
39,0
61,0
3,28
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.
.
. Здесь К цеп – цепные коэффициенты роста;
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его
уровней);
2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные;
3) случайные колебания.
1) ряд динамики проверяется на наличие тренда;
2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией
полученных результатов.
1) методом избранных точек,
2) методом наименьших расстояний,
3) методом наименьших квадратов (МНК).
n – число уровней ряда;
Год
Число зарегистри-
рованных браков, %
t
у×t
t 2
f(t)
1977
11,2
-13
-145,6
169
11,077
1978
10,9
-11
-119,9
121
10,931
1979
10,7
-9
-96,3
81
10,785
1980
10,6
-7
-74,2
49
10,639
1981
10,6
-5
-53,2
25
10,493
1982
10,4
-3
-31,2
9
10,347
1983
10,4
-1
-10,4
1
10,202
1984
9,6
1
9,6
1
10,056
1985
9,7
3
29,1
9
9,910
. Таким способом прирост численности за квартал в среднем составляет 2 чел.
, т.е. рост численности в среднем за квартал 101,03%.
Методы анализа основной тенденции ряда динамики
Год
Годовая выработка продукции на одного рабочего, т
Скользящая средняя
трехчленная
пятичленная
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
15,4
14,0
17,6
15,4
10,9
17,5
15,0
18,5
14,2
14,9
-
(15,4 + 14,0 + 17,6) : 3 = 15,7
(14,0 + 17,6 + 15,4) : 3 = 15,4
14,6
14,6
14,5
17,0
15,9
15,9
-
-
-
14,7
15,1
15,2
17,1
16,8
17,6
-
-
Методы изучения сезонных колебаний
Месяц
Объем продаж, млн. шт.
I s , %
2000
2001
2002
Средне- месячный уровень
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10,2
15,2
17,3
19,4
21,2
26,1
28,3
21,4
22,1
14,6
9,5
12,4
9,7
16,1
14,8
22,7
25,4
28,2
25,8
23,3
20,7
15,2
8,6
12,9
11,8
14,4
15,6
16,5
29,1
25,2
23,5
23,6
28,2
26,3
13,3
14,6
10,6
15,2
15,9
19,5
25,2
26,5
25,6
22,8
20,3
15,4
10,5
13,3
57,6
82,5
86,3
105,9
136,8
143,9
140,6
123,8
110,2
83,6
57,0
72,2
ИТОГО
217,7
223,4
221,1
221,1
1200,4
В среднем
18,14
18,61
18,51
18,42
100,0
Показатели ряда динамики
16. Показатели динамического ряда, их вычисление и практическое применение.
,
где
мг/л
"